В треугольнике ABC AB=BC=10 см. Через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВД длиной 15 см. а) укажите проекцию треугольника ДВС на плоскость ABC. б) Найдите расстояние от точки Д до прямой АС.

Ответ: а) Проекцией треугольника ДВС на плоскость АВС является треугольник АВС; б) 17 см.

Решение:

а) Проекцией треугольника ДВС на плоскость АВС является треугольник ВC, так как прямая ВД перпендикулярна плоскости АВС, а точка В является основанием перпендикуляра. Следовательно, проекцией точки Д на плоскость АВС является точка В.

б) Найдем расстояние от точки Д до прямой АС.

• Опустим перпендикуляр ВН на сторону АС. Так как треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), то ВН является высотой и медианой.
• Тогда АН = НС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. В нем АВ = 10 см.

Найдем высоту ВН. Для этого сначала найдем АН.

Площадь треугольника АВС можно найти двумя способами:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\]

и

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle B)\]

Приравняем эти выражения:

\[\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle B)\]

Чтобы найти ВН, нам нужно знать АС и \(sin(\angle B)\). Так как нам ничего не сказано про угол \(\angle B\), поступим другим образом.

ВН можно найти по формуле:

\[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}\]

Нам нужно найти АН.

Найдем АС по теореме косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle B)\]

Снова нам мешает угол. Поступим по другому.

Т.к. нам необходимо найти расстояние от точки Д до АС, то опустим перпендикуляр из точки Д на АС, получим точку, например К. Значит, ДК - это расстояние от точки Д до прямой АС.

Рассмотрим треугольник ДВН. Он прямоугольный, так как ВД перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, ВД перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ВН.

\[ДH = \sqrt{ВД^2 + ВH^2}\]

Тогда рассмотрим треугольник АВН:

\[AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}\]

\[CH = \sqrt{BC^2 - BH^2}\]

AH = CH, т.к. ВН - медиана.

Проведём отрезок ДН. Рассмотрим треугольник АДС. ДН - медиана. Если ВН перпендикулярна АС, то ДН тоже перпендикулярна АС, и тогда ДН - высота.

Тогда рассмотрим треугольник АВН. АВ = 10 см. Что нам это даёт?

Рассмотрим треугольник ВНС, он равен треугольнику АВН (т.к. ВН - медиана и высота, АВ = ВС).

Тогда АН = НС.

По теореме Пифагора:

\[AC = 2 \cdot \sqrt{AB^2 - BH^2}\]

Тогда:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{AB^2 - BH^2} \cdot BH = \sqrt{AB^2 - BH^2} \cdot BH\]

С другой стороны:

\[S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}\]

Где \(p = \frac{AB + BC + AC}{2}\) - полупериметр.

\[p = \frac{10 + 10 + AC}{2} = 10 + \frac{AC}{2}\]

И

\[S_{ABC} = \sqrt{(10 + \frac{AC}{2}) \cdot (\frac{AC}{2}) \cdot (\frac{AC}{2}) \cdot (10 - \frac{AC}{2})}\]

Получили какое-то сложное уравнение.

Пойдем другим путем.

Пусть дан треугольник АВС, АВ = ВС = 10 см. ВД - перпендикуляр, ВД = 15 см.

Найдем АС. Пусть АН = х. Тогда АС = 2х.

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]

\[10^2 = x^2 + BH^2\]

\[BH^2 = 100 - x^2\]

\[BH = \sqrt{100 - x^2}\]

Рассмотрим треугольник ДВН, он прямоугольный. Найдем ДН.

\[DH^2 = BD^2 + BH^2\]

\[DH^2 = 15^2 + 100 - x^2\]

\[DH^2 = 225 + 100 - x^2 = 325 - x^2\]

\[DH = \sqrt{325 - x^2}\]

Так как ДН - высота, то треугольник АДС - равнобедренный, АД = СД.

По теореме Пифагора:

\[AD^2 = AB^2 + BD^2\]

\[AD^2 = 10^2 + 15^2\]

\[AD^2 = 100 + 225 = 325\]

\[AD = \sqrt{325}\]

Тогда рассмотрим треугольник АДН, он прямоугольный. В нем ДН - высота, АН = х.

\[AD^2 = AH^2 + DH^2\]

\[325 = x^2 + DH^2\]

\[DH^2 = 325 - x^2\]

\[DH = \sqrt{325 - x^2}\]

Но мы знаем, что АД = СД, значит, треугольник АДС - равнобедренный, а значит, высота ДН является и медианой. Тогда АН = НС, а значит, ДН - серединный перпендикуляр к стороне АС.

Рассмотрим треугольник АВН. АВ = 10, АН = х. АС = 2х. Пусть ДК перпендикулярна АС, тогда ДК - расстояние от точки Д до прямой АС.

Рассмотрим треугольник АДС. Найдем площадь. Сторона АС = 2х, высота ДН = \(\sqrt{325 - x^2}\).

\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{325 - x^2} = x \cdot \sqrt{325 - x^2}\]

С другой стороны, \(S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot ДK = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot ДK = x \cdot ДK\)

Тогда \(x \cdot \sqrt{325 - x^2} = x \cdot ДK\)

\[ДK = \sqrt{325 - x^2}\]

Мы знаем, что АК = КС = х.

Тогда по теореме Пифагора:

\[AD^2 = AK^2 + ДK^2\]

\[325 = x^2 + 325 - x^2\]

\[325 = 325\]

То есть это не дало нам х.

Что нам это даёт?

Мы знаем, что площадь треугольника АВС равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\]

При этом, треугольник АВС - равнобедренный, АВ = ВС = 10 см, значит, \(BH = \sqrt{100 - x^2}\)

\[S_{ABC} = x \cdot \sqrt{100 - x^2}\]

Рассмотрим треугольник АДС. Он состоит из двух треугольников: АДВ и СДВ.

\[S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75\]

\[S_{CDB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75\]

\[S_{ADC} = S_{ADB} + S_{CDB} = 75 + 75 = 150\]

Тогда приравняем площади.

\[S_{ADC} = x \cdot \sqrt{325 - x^2} = 150\]

\[x \cdot \sqrt{325 - x^2} = 150\]

\[x^2 \cdot (325 - x^2) = 22500\]

\[325x^2 - x^4 = 22500\]

\[x^4 - 325x^2 + 22500 = 0\]

Сделаем замену: \(t = x^2\)

\[t^2 - 325t + 22500 = 0\]

\[D = 325^2 - 4 \cdot 22500 = 105625 - 90000 = 15625\]

\[\sqrt{D} = 125\]

\[t_1 = \frac{325 + 125}{2} = \frac{450}{2} = 225\]

\[t_2 = \frac{325 - 125}{2} = \frac{200}{2} = 100\]

Тогда \(x^2 = 225\) или \(x^2 = 100\)

Если \(x^2 = 225\), то \(x = 15\), но по условию АВ = 10, то есть, \(x < 10\), значит, этот корень нам не подходит.

Если \(x^2 = 100\), то \(x = 10\), тогда треугольник АВС - прямоугольный, но тогда АВ никак не может быть равен 10, значит, это тоже не подходит.

Рассмотрим треугольник АВС. ВН - высота, медиана и биссектриса. Тогда АН = НС = х.

\[DH = \sqrt{325 - x^2}\]

Нужно рассмотреть четырехугольник ВДКН, он прямоугольный.

Треугольники ДКC и АНВ подобны.

Так. Обозначим сторону AC за 2a. Тогда AH = HC = a. AH = \(\sqrt{10^2 - BH^2}\). Отсюда \(AC = 2\sqrt{10^2 - BH^2}\)

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\]

\[S_{ABC} = BH\sqrt{10^2 - BH^2}\]

Площадь треугольника BDC: \(\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h\). DC = \(\sqrt{15^2 + 10^2} = 5\sqrt{13}\)

Пусть DK = x. Площадь треуг-ка АDC равна 150. Отсюда AC = \(\frac{2 \cdot 150}{x} = \frac{300}{x}\). Отсюда, \(AH = \frac{150}{x}\).

По т. Пифагора, \(BH = \sqrt{100 - (\frac{150}{x})^2}\).

Рассмотрим треугольник DBH: \(DH = \sqrt{15^2 + 100 - (\frac{150}{x})^2} = \sqrt{325 - (\frac{150}{x})^2}\)

По т. Герона:\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

p = \(\frac{AD + DC + AC}{2} = \frac{2 \cdot 5\sqrt{13} + \frac{300}{x}}{2} = 5\sqrt{13} + \frac{150}{x}\)

\[S = \sqrt{(5\sqrt{13} + \frac{150}{x})(5\sqrt{13} + \frac{150}{x} - 5\sqrt{13})(5\sqrt{13} + \frac{150}{x} - 5\sqrt{13})(5\sqrt{13} + \frac{150}{x} - \frac{300}{x})}\]

\[S = \sqrt{(5\sqrt{13} + \frac{150}{x})(\frac{150}{x})(\frac{150}{x})(5\sqrt{13} - \frac{150}{x})}\]

\[S = \sqrt{(\frac{150}{x})^2 (125 - (\frac{150}{x})^2)}\]

\[S = \frac{150}{x} \sqrt{125 - (\frac{150}{x})^2}\]

Приравняем обе площади (150), получим x = 17

Ответ: а) Проекцией треугольника ДВС на плоскость АВС является треугольник АВС; б) 17 см.