В треугольнике ABC AC = BC = 20, sin A = 0,8. Найди АВ.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Проведем высоту CH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

1. Рассмотрим треугольник ACH. Он является прямоугольным, так как CH - высота. Из определения синуса угла следует:

\[\sin A = \frac{CH}{AC}\]

Отсюда можно найти CH:

\[CH = AC \cdot \sin A = 20 \cdot 0.8 = 16\]

2. Теперь, когда известна высота CH, можно найти AH, используя теорему Пифагора для треугольника ACH:

\[AH^2 + CH^2 = AC^2\]

\[AH^2 = AC^2 - CH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144\]

\[AH = \sqrt{144} = 12\]

3. Так как CH является медианой, то AH = HB. Следовательно:

\[AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24\]

Ответ: AB = 24

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденная сторона AB (24) меньше, чем удвоенная высота (2 * 16 = 32). Это логично, так как высота всегда меньше или равна боковой стороне в треугольнике.

Читерский прием: Всегда используй свойства равнобедренного треугольника для упрощения задачи. Высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.