0. В треугольнике ABC AC = BC = 5, sinA = \frac{7}{25}. Найдите АВ.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.

Теорема синусов:

В треугольнике ABC отношение длины стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная для данного треугольника:

$$ \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R $$, где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие углы, R — радиус описанной окружности.

Так как AC = BC = 5, то треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B.

Дано: sinA = \frac{7}{25}

Следовательно, sinB = \frac{7}{25}

Пусть AB = c. Тогда по теореме синусов:

$$ \frac{AC}{sinB} = \frac{AB}{sinC} $$.

Выразим sinC через sinA и sinB, зная, что A = B, и что сумма углов в треугольнике равна 180° (π радиан):

$$ C = 180° - (A + B) = 180° - 2A $$.

Используем формулу синуса двойного угла:

$$ sinC = sin(180° - 2A) = sin(2A) = 2sinA \cdot cosA $$.

Найдем cosA, зная основное тригонометрическое тождество:

$$ sin^2A + cos^2A = 1 $$.

$$ cos^2A = 1 - sin^2A = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} $$.

Следовательно, $$ cosA = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} $$.

Теперь найдем sinC:

$$ sinC = 2sinA \cdot cosA = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 24}{25 \cdot 25} = \frac{336}{625} $$.

Подставим известные значения в теорему синусов:

$$ \frac{AC}{sinB} = \frac{AB}{sinC} $$.

$$ \frac{5}{\frac{7}{25}} = \frac{AB}{\frac{336}{625}} $$.

Выразим АВ:

$$ AB = \frac{5 \cdot \frac{336}{625}}{\frac{7}{25}} = \frac{5 \cdot 336 \cdot 25}{7 \cdot 625} = \frac{5 \cdot 336 \cdot 1}{7 \cdot 25} = \frac{1680}{175} = \frac{336}{35} = \frac{48}{5} = 9.6 $$.

Ответ: 9.6