В треугольнике ABC AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S_{ABC}.

Сначала найдём третий угол: \(\angle B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin 60^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 45^\circ}\), поэтому \(AB=12\cdot\dfrac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=12\cdot\dfrac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=6\sqrt6\) см.

Площадь через две стороны и угол между ними:

\(S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot AB\cdot\sin A=\dfrac12\cdot12\cdot6\sqrt6\cdot\sin75^\circ\).

Так как \(\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), получаем \(S_{ABC}=9\sqrt6(\sqrt6+\sqrt2)=54+18\sqrt3\) см².

Ответ: \(AB=6\sqrt6\) см; \(S_{ABC}=54+18\sqrt3\) см².