В треугольнике ABC, AD и BE - высоты, пересекающиеся в точке O. Дано: AO = OC. Доказать: AB = BC.

Доказательство:

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• AD и BE - высоты, AD ⊥ BC, BE ⊥ AC
• O - точка пересечения высот (ортоцентр)
• AO = OC

Доказать: AB = BC

Доказательство:

1. Рассмотрим △ AOC. По условию, AO = OC, следовательно, △ AOC является равнобедренным.
2. В равнобедренном △ AOC, углы при основании равны: ∠ OAC = ∠ OCA.
3. ∠ OAC = ∠ BAC.
4. ∠ OCA = ∠ BCA.
5. Следовательно, ∠ BAC = ∠ BCA.
6. Так как в △ ABC углы при основании AC равны, то треугольник ABC является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив этих углов, равны: AB = BC.

Что и требовалось доказать.