В треугольнике ABC \(\angle\) A = 70^{\(\circ\)}, \(\angle\) C = 55^{\(\circ\)}. а) Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок BM - высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника:
   1. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдём \( \angle B \):
      \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \).
   2. Так как \( \angle B = \angle C = 55^{\circ} \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.
2. б) Нахождение углов, на которые высота BM делит угол ABC:
   1. Высота BM, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также биссектрисой угла ABC.
   2. Следовательно, высота BM делит угол ABC на два равных угла: \( \angle ABM = \angle CBM \).
   3. \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{55^{\circ}}{2} = 27.5^{\circ} \).

Ответ: а) Треугольник ABC равнобедренный, его основание — AC. б) Высота BM делит угол ABC на углы по 27.5°.