В треугольнике ABC: BC = a, ∠C = γ и ∠B = β. Выразите биссектрисы l_C и l_B через γ, β и α.

Обозначим \(\alpha=180^\circ-\beta-\gamma\). По теореме синусов стороны, прилежащие к углам, пропорциональны синусам противолежащих углов:

\(CA=a\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\), \(AB=a\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(x\) и \(y\) равна \(\frac{2xy\cos(\theta/2)}{x+y}\), где \(\theta\) — этот угол.

Для биссектрисы из вершины C:

\(l_C=\frac{2\cdot BC\cdot CA\cos(\gamma/2)}{BC+CA}=\frac{2a\sin\beta\cos(\gamma/2)}{\sin\alpha+\sin\beta}\).

Для биссектрисы из вершины B:

\(l_B=\frac{2\cdot BC\cdot AB\cos(\beta/2)}{BC+AB}=\frac{2a\sin\gamma\cos(\beta/2)}{\sin\alpha+\sin\gamma}\).

Ответ: \(l_C=\frac{2a\sin\beta\cos(\gamma/2)}{\sin\alpha+\sin\beta}\), \(l_B=\frac{2a\sin\gamma\cos(\beta/2)}{\sin\alpha+\sin\gamma}\).