В треугольнике ABC: BC = a, ∠C = γ и ∠B = β. Выразите биссектрисы l_C и l_B через γ, β и a.

По теореме синусов стороны, прилежащие к углам C и B, выражаются через известную сторону BC:

\(CA=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\gamma+\beta)}\), \(AB=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta)}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами x и y равна \(\dfrac{2xy\cos(\theta/2)}{x+y}\), где θ — этот угол. Подставляя стороны и упрощая по формуле суммы синусов, получаем:

\(l_C=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma/2)}\), \(l_B=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta/2)}\).

Ответ: \(l_C=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma/2)}\), \(l_B=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta/2)}\).