В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

Обозначим стороны треугольника: \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\).

Так как медиана \(AD\) и биссектриса \(BE\) перпендикулярны, из скалярного произведения соответствующих векторов получается условие \(a=2c\). Следовательно,

\[BC=2AB.\]

Длина медианы из вершины \(A\) вычисляется по формуле:

\[AD^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.\]

Подставим \(AD=12\) и \(a=2c\):

\[144=\frac{2b^2+2c^2-4c^2}{4}=\frac{b^2-c^2}{2}.\]

Отсюда

\[b^2-c^2=288.\tag{1}\]

Формула длины биссектрисы из вершины \(B\):

\[BE^2=ac\left(1-\frac{b^2}{(a+c)^2}\right).\]

Подставим \(BE=12\) и \(a=2c\):

\[144=2c^2\left(1-\frac{b^2}{9c^2}\right)=2c^2-\frac{2b^2}{9}.\tag{2}\]

Из (1) \(b^2=c^2+288\). Подставим это в (2):

\[144=2c^2-\frac{2(c^2+288)}{9},\]

\[1296=16c^2-576,\]

\[c^2=117,\qquad c=3\sqrt{13}.\]

Тогда

\[a=2c=6\sqrt{13},\]

\[b^2=c^2+288=117+288=405,\qquad b=9\sqrt5.\]

Ответ: \(AB=3\sqrt{13}\), \(BC=6\sqrt{13}\), \(CA=9\sqrt5\).