В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. Анализ условия. * `BM` - медиана, значит, точка `M` - середина стороны `AC`. Следовательно, `AM = MC = AC / 2 = 216 / 2 = 108`. * `BH` - высота, значит, `∠BHC = 90°`. * `HC = 54` и `AC = 216`, следовательно `AH = AC - HC = 216 - 54 = 162`. * `∠ACB = 40°`. 2. Нахождение угла CBH. Рассмотрим прямоугольный треугольник `BHC`. В этом треугольнике: `∠BHC = 90°` `∠BCH = 40°` Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, поэтому: `∠CBH = 90° - ∠BCH = 90° - 40° = 50°`. 3. Нахождение угла ABH. Рассмотрим треугольник `ABC`. `AM=MC` и `BM` медиана, но из этого автоматически не следует, что треугольник равнобедренный. Угол `∠AMB` является внешним углом треугольника `BMC`. Следовательно, он равен сумме двух углов треугольника `BMC`, не смежных с ним: `∠AMB = ∠MBC + ∠BCM`. 4. Нахождение угла MBL. Так как `BM` медиана, то `AM = MC`. Значит `AM = 108` и `MC = 108` Так как `AH = 162`, то `MH = AH - AM = 162 - 108 = 54`. Следовательно, `MH = HC`. 5. Рассмотрим треугольник BHC. Так как `BH` - высота, то треугольник `BHC` - прямоугольный. Из этого следует, что `∠HBC = 90 - ∠HCB = 90 - 40 = 50°` 6. Рассмотрим треугольник AMB. Угол `AMB` является смежным с углом `BMC`, поэтому `∠AMB = 180 - ∠BMC`. `∠BMC = ∠BCA + ∠CBM = 40 + ∠CBM` 7. Рассмотрим треугольник BHM. Так как `MH = HC = 54`, то `MH = HC`. `BH` - общая сторона. Угол `∠BHM = ∠BHC = 90°`. Следовательно, треугольники `BHM` и `BHC` равны по двум катетам. Значит `∠MBH = ∠HBC = 50°` и `BM = BC`. 8. Рассмотрим треугольник MBC. Так как `BM = BC`, то треугольник `MBC` равнобедренный, значит `∠BMC = ∠BCM = 40°`. Тогда `∠MBC = 180 - 40 - 40 = 100°`. 9. Нахождение угла AMB `∠AMB = 180 - ∠BMC = 180 - 80 = 100°` Ответ: 100