12. В треугольнике ABC <C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что <BDC = 60°, <ABD = 30°, CD = 5 см. Найдите AC и расстояние от точки D до стороны AB.

Рассмотрим треугольник BDC. В нём углы ∠C = 60° и ∠BDC = 60°, следовательно, угол ∠DBC = 180° - 60° - 60° = 60°. Таким образом, треугольник BDC — равносторонний, и BD = DC = BC = 5 см.

Рассмотрим треугольник ABD. В нём угол ∠ABD = 30°. Угол ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 30° - (180° - ∠BDC) = 180° - 30° - (180° - 60°) = 30°. Таким образом, треугольник ABD — равнобедренный, и AD = BD = 5 см.

AC = AD + DC = 5 см + 5 см = 10 см.

Для нахождения расстояния от точки D до стороны AB, опустим перпендикуляр DH на AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. В нём угол ∠DAH = 30°, AD = 5 см. DH = AD * sin(∠DAH) = 5 * sin(30°) = 5 * 0.5 = 2.5 см.

Ответ: AC = 10 см, расстояние от точки D до стороны AB = 2.5 см.