В треугольнике ABC ∠C = 90°. На сторонах АС, АВ, ВС соответственно взяты точки М, Р, К так, что четырёхугольник СМРК является квадратом, АС = 6 см, ВС = 14 см. Найдите сторону МС.

1. Так как СМРК - квадрат, то CM = CP = PK = KM. Также CM ⊥ AC и CP ⊥ BC.

2. Введём обозначения: MC = x. Тогда AM = AC - MC = 6 - x.

3. Треугольник ABC подобен треугольнику AMP (по двум углам: ∠A общий, ∠C = ∠AMP = 90°).

4. Из подобия следует пропорция: AM/AC = AP/AB = MP/BC. Так как MP = MC = x, то (6-x)/6 = x/14.

5. Решаем уравнение: 14(6-x) = 6x => 84 - 14x = 6x => 84 = 20x => x = 84/20 = 4.2 см.