Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: В треугольнике ABC длины сторон AB, BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найти, в каком отношении центр вписанной…Фото задания

Ответ:

Решение задачи 2

Это задача на применение теоремы о биссектрисе угла и свойства центра вписанной окружности.

Дано:

  • Треугольник ABC.
  • Стороны AB, BC, AC относятся как 2:4:5.
  • Пусть AB = 2x, BC = 4x, AC = 5x.
  • CD — биссектриса угла C, проведенная к большей стороне AB.
  • O — центр вписанной окружности.

Найти: отношение CO : OD.

Решение:

  1. Применим теорему о биссектрисе угла. Биссектриса угла C делит противоположную сторону AB в отношении, равном отношению прилежащих сторон:
    • \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{5x}{4x} = \frac{5}{4} \)
  2. Найдем длины отрезков AD и DB.
    • \( AD + DB = AB = 2x \)
    • \( AD = \frac{5}{5+4} \times 2x = \frac{5}{9} \times 2x = \frac{10x}{9} \)
    • \( DB = \frac{4}{5+4} \times 2x = \frac{4}{9} \times 2x = \frac{8x}{9} \)
  3. Применим свойство центра вписанной окружности. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника. Рассмотрим треугольник ADC. В нем CO является биссектрисой угла ACD.
  4. Применим теорему о биссектрисе к треугольнику ADC. Биссектриса CO делит сторону AD в отношении, равном отношению прилежащих сторон AC и CD:
    • \( \frac{AO}{OD} = \frac{AC}{CD} \)
  5. Найдем длину биссектрисы CD. Используем формулу длины биссектрисы:
    • \( l_c^2 = ab(1 - (\frac{c}{a+b})^2) \)
    • где \( a = AC = 5x \), \( b = BC = 4x \), \( c = AB = 2x \)
    • \( CD^2 = (5x)(4x)(1 - (\frac{2x}{5x+4x})^2) = 20x^2 (1 - (\frac{2x}{9x})^2) = 20x^2 (1 - \frac{4}{81}) \)
    • \( CD^2 = 20x^2 (\frac{81-4}{81}) = 20x^2 \frac{77}{81} = \frac{1540x^2}{81} \)
    • \( CD = \frac{\sqrt{1540}}{9}x \)
  6. Теперь найдем отношение AO/OD:
    • \( \frac{AO}{OD} = \frac{AC}{CD} = \frac{5x}{\frac{\sqrt{1540}}{9}x} = \frac{5 \times 9}{\sqrt{1540}} = \frac{45}{\sqrt{1540}} \)
  7. Важно: в условии задачи сказано "к большей стороне, считая от вершины". В нашем случае большая сторона - AC (5x). Биссектриса проведена к стороне AB (2x). Если биссектриса проведена из вершины C к стороне AB, то она делит сторону AB. Если же имеется в виду биссектриса угла, проведенная к большей стороне (AC), то это другая биссектриса. Давайте предположим, что имелась в виду биссектриса угла C, которая делит сторону AB. В этом случае центр вписанной окружности (O) будет делить эту биссектрису (CD) в отношении CO:OD.
  8. Переформулируем задачу: Если O - центр вписанной окружности, а CD - биссектриса угла C, то O делит биссектрису CD в отношении:
    • \( \frac{CO}{OD} = \frac{AC+BC}{AB} = \frac{5x+4x}{2x} = \frac{9x}{2x} = \frac{9}{2} \)
  9. Это стандартная формула для отношения, в котором центр вписанной окружности делит биссектрису.

    10. Ответ: 9:2