16) В треугольнике ABC из вершины B проведена высота BH. Найдите сторону BC треугольника, если высота BH равна 8, а углы CAB и ABC равны 45° и 105° соответственно.

Рассмотрим треугольник ABH, в котором \(\angle BAH = 45^\circ\) и \(BH = 8\). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол \(\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, и \(AH = BH = 8\). Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что \(\angle CAB = 45^\circ\) и \(\angle ABC = 105^\circ\). Тогда \(\angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ\). В треугольнике BHC, \(\angle BCH = 30^\circ\), \(\angle BHC = 90^\circ\) и \(BH = 8\). Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти сторону BC: \(\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{8}{BC}\) Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), то: \(\frac{1}{2} = \frac{8}{BC}\) \(BC = 8 \cdot 2 = 16\) Ответ: BC = 16