В треугольнике ABC из вершины угла B проведена высота BH. В треугольнике BHC проведена медиана CM, причём \(\angle CMH = 60^\circ\). Найдите BH, если CM = 46 см.

Решение: 1. Рассмотрим треугольник CMH. Т.к. CM - медиана, то MH = HB = \(\frac{BC}{2}\). 2. В треугольнике CMH, \(\angle CMH = 60^\circ\). Поскольку CM = MH (так как CM - медиана, и значит CM = \(\frac{BC}{2}\) и MH = \(\frac{BC}{2}\)), то треугольник CMH - равнобедренный, и \(\angle MCH = \angle MHC = 60^\circ\). Следовательно, \(\angle CMH = \angle MCH = \angle MHC = 60^\circ\), и треугольник CMH - равносторонний. 3. Т.к. CMH - равносторонний, то CM = MH = CH = 46 см. 4. Тогда BC = 2 * MH = 2 * 46 = 92 см. 5. Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, т.к. BH - высота. 6. В прямоугольном треугольнике BHC, \(\angle BCH = 60^\circ\). 7. Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \(\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}\) \(\sin(60^\circ) = \frac{BH}{92}\) 8. Знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 9. Подставляем значение синуса: \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{92}\) 10. Находим BH: \(BH = \frac{92 \cdot \sqrt{3}}{2} = 46\sqrt{3}\) Ответ: **\(46\sqrt{3}\) см**