В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, ∠A = 90°, AB = 5 см, BC = 13 см. Найдите радиус окружности с центром C, если она имеет с прямой AB только одну общую точку.

Решение:

По условию задачи окружность и прямая AB имеют только одну общую точку.

Если бы радиус окружности был меньше расстояния от точки окружности C до прямой AB, то окружность и прямая имели бы общие точки.

Если бы радиус был больше расстояния от точки C до AB, то окружность и прямая имели бы общих точек.

Это означает, что радиус окружности равен расстоянию от точки C до прямой AB. Так как прямая AB перпендикулярна прямой AC, то расстояние от точки C до прямой AB равно длине отрезка AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 + AB^2 = BC^2$$

Выразим AC:

$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$$

Подставим известные значения:

$$AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Таким образом, радиус окружности равен 12 см.

Ответ: 12 см