В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, ∠A = 90°, AB = 5 см, BC = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой AB только одну общую точку. Решение. По условию задачи окружность и прямая __________ имеют только __________ общую точку. Если бы радиус окружности был меньше расстояния от __________ окружности — точки __________ — до прямой AB, то окружность и прямая имели бы __________ общие точки. Если бы радиус __________ был больше расстояния от точки __________ до прямой AB, то окружность и прямая имели бы __________ общие точки.

Решение:

По условию задачи, окружность с центром С имеет с прямой AB только одну общую точку. Это означает, что прямая AB является касательной к окружности.

Расстояние от центра окружности (точка C) до касательной (прямая AB) равно радиусу этой окружности. В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем длину катета AC по теореме Пифагора: \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \)
2. \( AC^2 + 5^2 = 13^2 \)
3. \( AC^2 + 25 = 169 \)
4. \( AC^2 = 169 - 25 = 144 \)
5. \( AC = \sqrt{144} = 12 \) см.

Так как прямая AB является касательной к окружности с центром C, то расстояние от C до AB равно радиусу. Это расстояние — это длина отрезка AC, так как угол A равен 90°.

Следовательно, радиус окружности равен AC = 12 см.

Заполним пропуски:

По условию задачи окружность и прямая AB имеют только одну общую точку.

Если бы радиус окружности был меньше расстояния от центра окружности — точки C — до прямой AB, то окружность и прямая имели бы две общие точки.

Если бы радиус окружности был больше расстояния от точки C до прямой AB, то окружность и прямая имели бы ноль общие точки.

Ответ: 12 см.