В треугольнике ABC известно, что AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности. \( AO = R \).

В \( \triangle ABC \) имеем \( AC = 2 AB \).

Рассмотрим \( \triangle AOC \). \( OA = OC = R \) (радиусы). \( \triangle AOC \) — равнобедренный.

Проведем перпендикуляр \( OM \) из \( O \) к \( AC \). \( M \) — середина \( AC \). \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).

В \( \triangle OMA \) по теореме Пифагора: \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \). \( R^2 = OM^2 + 18^2 \).

Теперь рассмотрим \( \triangle AOB \). \( OA = OB = R \). \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Проведем перпендикуляр \( OK \) из \( O \) к \( AB \). \( K \) — середина \( AB \). \( AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

В \( \triangle OKA \) по теореме Пифагора: \( OA^2 = OK^2 + AK^2 \). \( R^2 = OK^2 + 9^2 \).

Сравнивая \( R^2 \) из \( \triangle OMA \) и \( \triangle OKA \):

\[ OM^2 + 18^2 = OK^2 + 9^2 \]

\[ OM^2 + 324 = OK^2 + 81 \]

\[ OM^2 - OK^2 = 81 - 324 = -243 \]

\[ OK^2 - OM^2 = 243 \]

Рассмотрим соотношение сторон \( AB \) и \( AC \). \( AB = 18, AC = 36 \).

Так как \( AC = 2 AB \), то \( \triangle ABC \) является прямоугольным с прямым углом \( \angle ABC = 90^\circ \). В этом случае центр описанной окружности \( O \) лежит на середине гипотенузы \( AC \).

Тогда \( AO = OC = BO = R = \frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).

Значит, \( AB = 18, AC = 36, R = 18 \).

\( O \) — середина \( AC \).

\( AO \) — отрезок, соединяющий центр \( O \) с вершиной \( A \).

Прямая \( BD \) перпендикулярна \( AO \). Так как \( O \) — середина \( AC \), отрезок \( AO \) лежит на прямой \( AC \). Следовательно, \( BD \perp AC \).

\( BD \) — высота \( \triangle ABC \), проведённая из вершины \( B \) к гипотенузе \( AC \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \) площадь можно найти двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \]

\[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \]

Чтобы найти \( BC \), используем теорему Пифагора в \( \triangle ABC \):

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

\[ 18^2 + BC^2 = 36^2 \]

\[ 324 + BC^2 = 1296 \]

\[ BC^2 = 1296 - 324 = 972 \]

\[ BC = \sqrt{972} = \sqrt{324 \cdot 3} = 18 \sqrt{3} \]

Теперь найдём площадь \( \triangle ABC \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \sqrt{3} = 81 \sqrt{3} \]

Используем вторую формулу площади для нахождения \( BD \):

\[ 81 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot BD \]

\[ 81 \sqrt{3} = 18 BD \]

\[ BD = \frac{81 \sqrt{3}}{18} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \]

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \). Они прямоугольные, так как \( BD \perp AC \).

В \( \triangle ABD \) мы знаем \( AB = 18 \) и \( BD = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \).

По теореме Пифагора найдём \( AD \):

\[ AD^2 = AB^2 - BD^2 \]

\[ AD^2 = 18^2 - (\frac{9 \sqrt{3}}{2})^2 = 324 - \frac{81 \cdot 3}{4} = 324 - \frac{243}{4} = \frac{1296 - 243}{4} = \frac{1053}{4} \]

\[ AD = \sqrt{\frac{1053}{4}} = \frac{\sqrt{1053}}{2} = \frac{\sqrt{81 \cdot 13}}{2} = \frac{9 \sqrt{13}}{2} \]

Мы ищем \( CD \). \( AC = AD + CD \) или \( AC = CD - AD \) или \( AC = AD - CD \). Так как \( D \) лежит на \( AC \), и \( \angle B \) прямой, \( D \) лежит между \( A \) и \( C \).

\( CD = AC - AD \)

\[ CD = 36 - \frac{9 \sqrt{13}}{2} = \frac{72 - 9 \sqrt{13}}{2} \]

Проверим, лежит ли точка D между A и C. \( AD = \frac{9 √{13}}{2} \approx \frac{9 × 3.6}{2} \approx 16.2 \). \( AC = 36 \). Так как \( AD < AC \), точка D лежит на отрезке AC.

Ответ: \( \frac{72 - 9 \sqrt{13}}{2} \)