Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg ∠A = \frac{\sqrt{5}}{2}. Найдите длину стороны AC.
Ответ:
Краткое пояснение: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Используем тангенс угла для нахождения высоты, а затем теорему Пифагора для определения длины боковой стороны.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Проведем высоту CH к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), CH является медианой, поэтому AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10.
- Шаг 2: Из условия дано, что tg ∠A = \frac{\sqrt{5}}{2}. Тангенс угла A в прямоугольном треугольнике ACH равен отношению противолежащего катета CH к прилежащему катету AH: \[tg ∠A = \frac{CH}{AH}\]
- Шаг 3: Подставим известные значения: \[\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10}\]
- Шаг 4: Выразим CH: \[CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\]
- Шаг 5: Теперь, когда известны катеты AH и CH в прямоугольном треугольнике ACH, можем найти гипотенузу AC по теореме Пифагора: \[AC^2 = AH^2 + CH^2\]\[AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2\]\[AC^2 = 100 + 25 \cdot 5\]\[AC^2 = 100 + 125\]\[AC^2 = 225\]
- Шаг 6: Найдем AC: \[AC = \sqrt{225} = 15\]
Ответ: 15
