В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=18, $$tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны AC.

Т.к. AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Углы при основании AB равны, т.е. угол A равен углу B. Опустим высоту CH на основание AB. Высота CH также является медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем AH = AB/2 = 18/2 = 9.

Из определения тангенса угла A:

$$tg A = \frac{CH}{AH}$$

$$CH = AH * tg A = 9 * \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22}$$

Теперь, зная AH и CH, найдем AC по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{9^2 + (2\sqrt{22})^2} = \sqrt{81 + 4 * 22} = \sqrt{81 + 88} = \sqrt{169} = 13$$