В треугольнике ABC известно, что AC = 6 см, \(\angle\) C = 90^{\(\circ\)}, \(\angle\) A = 50^{\(\circ\)}. Найти: AB, \(\angle\) BCM, \(\angle\) AMC.

Решение:

1. Найдём AB:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

\( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{6}{\cos 50^{\circ}} \approx \frac{6}{0.6428} \approx 9.33 \) см.

2. Найдём \(\angle B\):

Сумма углов в треугольнике равна 180^{\(\circ\)}. В треугольнике ABC:

\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

3. Найдём \(\angle BCM\) и \(\angle AMC\) (точка M - середина AB):

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

CM = AM = BM = \( \frac{AB}{2} \approx \frac{9.33}{2} \approx 4.665 \) см.

Рассмотрим треугольник BCM. Так как CM = BM, он равнобедренный.

\( \angle BCM = \angle B = 40^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Так как CM = AM, он тоже равнобедренный.

\( \angle MAC = \angle A = 50^{\circ} \).

\( \angle AMC \) - внешний угол треугольника BCM, поэтому он равен сумме двух других углов:

\( \angle AMC = \angle MBC + \angle BCM = 40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Проверим сумму углов в треугольнике AMC:

\( \angle MAC + \angle ACM + \angle AMC = 50^{\circ} + \angle ACM + 80^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ACM = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: AB \(\approx 9.33\) см, \(\(\angle\) BCM = 40^{\(\circ\)}, \(\angle\) AMC = 80^{\(\circ\)}.