В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 10, tg A = \( \frac{2\sqrt{6}}{5} \). Найдите длину стороны AC.

1. Анализ треугольника:

Треугольник ABC — равнобедренный, так как AC = BC. Это значит, что углы при основании AB равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

2. Проведем высоту:

Опустим высоту CH из вершины C на основание AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, она делит основание AB пополам.

AH = HB = \( \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

3. Используем тангенс угла:

В прямоугольном треугольнике AHC:

\( \text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH} \)

Нам известно, что \( \text{tg} A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) и AH = 5.

Подставляем известные значения:

\[ \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{CH}{5} \]

Отсюда находим высоту CH:

\[ CH = 5 \times \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2\sqrt{6} \]

4. Найдем длину боковой стороны AC:

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AHC:

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]

\[ AC^2 = 5^2 + (2\sqrt{6})^2 \]

\[ AC^2 = 25 + (4 \times 6) \]

\[ AC^2 = 25 + 24 \]

\[ AC^2 = 49 \]

\[ AC = \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7