В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=18, tg A = √7 / 3. Найдите длину стороны AC.

Давай решим эту задачу по шагам.

1. Анализ треугольника:
   У нас есть треугольник ABC, где AC = BC. Это значит, что треугольник равнобедренный. Углы при основании AB равны, то есть ∠A = ∠B.
2. Использование тангенса:
   Нам дано, что tg A = √7 / 3. В прямоугольном треугольнике тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
   Чтобы использовать это, проведем высоту CH из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
3. Нахождение отрезка AH:
   Так как CH — медиана, она делит основание AB пополам:
   AH = HB = AB / 2 = 18 / 2 = 9.
4. Создание прямоугольного треугольника:
   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем:
   
   • AH = 9 (прилежащий катет к углу A)
   • CH — противолежащий катет к углу A
   • AC — гипотенуза
5. Нахождение высоты CH:
   Мы знаем, что tg A = CH / AH.
   \[ \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CH}{9} \]
   Чтобы найти CH, умножим обе стороны на 9:
   \[ CH = 9 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7} \]
6. Нахождение гипотенузы AC:
   Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ACH: AC² = AH² + CH².
   \[ AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2 \]
   \[ AC^2 = 81 + (9 \times 7) \]
   \[ AC^2 = 81 + 63 \]
   \[ AC^2 = 144 \]
   Извлекаем квадратный корень:
   \[ AC = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ: 12