В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg A = √5 / 2. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Поскольку AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).
3. Нам дан \( \text{tg} A = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
4. В прямоугольном треугольнике \( \text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).
5. Проведем высоту CH из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.
6. Таким образом, H - середина AB, и \( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол A известен, и \( AH = 10 \).
8. Нам нужно найти AC.
9. В прямоугольном треугольнике ACH:
10. \[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} \]
11. Нам нужно найти \( \cos A \), зная \( \text{tg} A \).
12. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( 1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \).
13. \[ \text{tg}^2 A = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4} \]
14. \[ 1 + \frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2 A} \]
15. \[ \frac{4}{4} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} = \frac{1}{\cos^2 A} \]
16. \[ \cos^2 A = \frac{4}{9} \]
17. \[ \cos A = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \] (Поскольку A - угол треугольника, \( \cos A > 0 \)).
18. Теперь найдем AC:
19. \[ \cos A = \frac{AH}{AC} \]
20. \[ \frac{2}{3} = \frac{10}{AC} \]
21. \[ AC = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

Ответ: 15