В треугольнике ABC известно, что АС = BC, AB = 20, tgA=\frac{\sqrt{5}}{2}. Найдите длину стороны АС.

Пошаговое решение:

1. Обозначим сторону AC как x. Так как AC = BC, то BC = x.
2. Используем теорему косинусов: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A \). Подставляем известные значения: \( 20^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos A \), \( 400 = 2x^2 - 2x^2 \cos A \).
3. Выразим \( \cos A \) через \( tg A \). Известно, что \( tg^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \). Подставляем \( tg A = \frac{\sqrt{5}}{2} \): \( (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \), \( \frac{5}{4} + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \), \( \frac{9}{4} = \frac{1}{\cos^2 A} \), \( \cos^2 A = \frac{4}{9} \), \( \cos A = \frac{2}{3} \).
4. Подставим \( \cos A \) в уравнение из теоремы косинусов: \( 400 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{2}{3} \), \( 400 = 2x^2 - \frac{4}{3}x^2 \), \( 400 = \frac{6x^2 - 4x^2}{3} \), \( 400 = \frac{2x^2}{3} \), \( 1200 = 2x^2 \), \( x^2 = 600 \), \( x = \sqrt{600} = 10\sqrt{6} \).

Ответ: 10√6