В треугольнике ABC известно, что АС = BC, AB=20, tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 15

Пусть CH - высота в треугольнике ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то высота CH является медианой и биссектрисой.

Следовательно, AH = HB = \(\frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\).

Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\[tg A = \frac{CH}{AH}\]

\[\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10}\]

\[CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\]

Теперь найдем AC по теореме Пифагора из треугольника ACH:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]

\[AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2\]

\[AC^2 = 100 + 25 \cdot 5\]

\[AC^2 = 100 + 125 = 225\]

\[AC = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15