В треугольнике ABC известно, что ∠C=90°, ∠B=30°. Отрезок СК — биссектриса треугольника. Найдите длину отрезка СК, если АК=6.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит, \( \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

СК — биссектриса, значит, она делит \( \angle C \) пополам: \( \angle ACK = \angle BCK = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).

Рассмотрим треугольник ACK. В нём \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle ACK = 45^\circ \). Третий угол \( \angle AKC = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \).

По теореме синусов для треугольника ACK:

\( \frac{AK}{\sin(\angle ACK)} = \frac{CK}{\sin(\angle A)} \)

\( \frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{CK}{\sin(60^\circ)} \)

\( CK = \frac{6 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)} \)

Подставим значения синусов: \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( CK = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{6} \)

Ответ: \( 3 \sqrt{6} \).