В треугольнике ABC известно, что AC = BC, АН – высота и 7 sin ∠BAC = 25. Найдите tg ∠HAB.

Разбираемся:

1. Шаг 1: Находим косинус угла BAC.

   Так как sin²α + cos²α = 1, то

   \[cos \angle BAC = \sqrt{1 - sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\]

2. Шаг 2: Находим тангенс угла HAB.

   Угол HAB равен углу BCA, так как треугольник ABC равнобедренный, и AH - высота.

   Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°. Так как ∠BAC = ∠ABC, то 2∠BAC + ∠BCA = 180°.

   Из этого следует, что ∠BCA = 180° - 2∠BAC, и ∠HAB = ∠BCA.

   Используем формулу для тангенса угла:

   \[tg \angle HAB = \frac{sin \angle BAC}{cos \angle BAC} = \frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{7}{24}\]

Ответ: tg ∠HAB = \(\frac{7}{24}\)