В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 15, AC = 25, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Проведём через A ось координат вдоль AO, направив её к O. Обозначим расстояние от A до O через R. Тогда уравнение описанной окружности имеет вид \(x^2+y^2=2Rx\), поскольку она проходит через A(0; 0) и её центр — точка O(R; 0).

Для любой точки X этой окружности, если AX = l, из уравнения окружности следует: \(l^2=2R x_X\), то есть \(x_X=\frac{l^2}{2R}\).

Поэтому \(x_B=\frac{15^2}{2R}\), а \(x_C=\frac{25^2}{2R}\). Так как BD перпендикулярна AO, прямая BD параллельна оси y; значит, у точек B и D одинаковая координата x. Точка D лежит на AC, поэтому её положение на отрезке AC задаётся отношением \(\frac{AD}{AC}=\frac{x_B}{x_C}=\frac{15^2}{25^2}=\frac{9}{25}\).

Тогда \(CD=AC-AD=\left(1-\frac{9}{25}\right)\cdot25=16\).

Ответ: 16.