В треугольнике ABC известны стороны: AB=25, AC=40, BC=25. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Треугольник ABC является равнобедренным, так как стороны AB и BC равны (\( 25 \)).

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание AC пополам:

\(\begin{equation}\) AH = HC = \(\frac{AC}{2}\) = \(\frac{40}{2}\) = 20 \(\end{equation}\)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту BH:

\(\begin{align*}\) AB^2 &= AH^2 + BH^2 \\ 25^2 &= 20^2 + BH^2 \\ 625 &= 400 + BH^2 \\ BH^2 &= 625 - 400 \\ BH^2 &= 225 \\ BH &= \(\sqrt{225}\) = 15 \(\end{align*}\)

Теперь найдем площадь треугольника ABC по формуле:

\(\begin{equation}\) S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) основание \(\times\) высота \(\end{equation}\)\\(\begin{align*}\) S &= \(\frac{1}{2}\) \(\times\) AC \(\times\) BH \\ &= \(\frac{1}{2}\) \(\times\) 40 \(\times\) 15 \\ &= 20 \(\times\) 15 \\ &= 300 \(\end{align*}\)

Ответ: 300