В треугольнике ABC известны величины двух углов: ∠BAC = 48°, ∠ABC = 84°. Высота BH и биссектриса AD пересекаются в точке O. Сравните длины следующих отрезков. HO AH BH BO

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC известны величины двух углов: ∠BAC = 48°, ∠ABC = 84°. Высота BH и биссектриса AD пересекаются в точке O. Сравните длины следующих отрезков. HO AH BH BO

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Давай разберемся с этой задачей по геометрии! Нам дан треугольник ABC, и мы знаем два его угла: $$\angle$ BAC = 48^$\circ$$ и $$\angle$ ABC = 84^$\circ$$ .

Сначала найдем третий угол $$\angle$ ACB$ . Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$\angle$ ACB = 180^$\circ$ - $\angle$ BAC - $\angle$ ABC = 180^$\circ$ - 48^$\circ$ - 84^$\circ$ = 48^$\circ$

Ого, $$\angle$ BAC = $\angle$ ACB = 48^$\circ$$ ! Это значит, что треугольник ABC — равнобедренный, и стороны, противолежащие этим углам, равны: AB = BC.

Теперь вспомним, что BH — это высота, а AD — биссектриса. Они пересекаются в точке O.

Сравнение отрезков:

HO и AO:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC), проведенная к основанию AC биссектриса AD является также и медианой, и высотой. Но в нашем случае основание - AC, а биссектриса AD. Нам нужно найти высоту BH.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. $\angle$ BAH = 48^$\circ$. $\angle$ ABH = 90^$\circ$ - 48^$\circ$ = 42^$\circ$.
AD — биссектриса $$\angle$ BAC$ , значит $$\angle$ BAO = $\angle$ CAO = 48^$\circ$ / 2 = 24^$\circ$$ .
Рассмотрим треугольник ABO. Углы: $$\angle$ BAO = 24^$\circ$$ , $$\angle$ ABO = 84^$\circ$$ .
$$\angle$ AOB = 180^$\circ$ - 24^$\circ$ - 84^$\circ$ = 72^$\circ$$ .
Рассмотрим треугольник BHO. Углы: $$\angle$ OBH = $\angle$ ABC - $\angle$ ABO = 84^$\circ$ - 84^$\circ$ = 0^$\circ$$ . Это неверно. AD — биссектриса, BH — высота.
Давай пересчитаем углы в треугольнике ABO. $$\angle$ BAO = 24^$\circ$$ . $$\angle$ ABO = 84^$\circ$$ (это угол ABC).
Ах, BH — высота, значит $$\angle$ BHA = 90^$\circ$$ . AD — биссектриса.
В прямоугольном треугольнике ABH: $$\angle$ BAH = 48^$\circ$$ , $$\angle$ ABH = 90^$\circ$ - 48^$\circ$ = 42^$\circ$$ .
В треугольнике ABO: $$\angle$ OAB = 24^$\circ$$ , $$\angle$ OBA$ = $$\angle$ ABH = 42^$\circ$$ .
$$\angle$ AOB = 180^$\circ$ - 24^$\circ$ - 42^$\circ$ = 114^$\circ$$ .
Теперь в прямоугольном треугольнике BHO: $$\angle$ OBH = $\angle$ ABC - $\angle$ ABH = 84^$\circ$ - 42^$\circ$ = 42^$\circ$$ .
$$\angle$ BOH = 90^$\circ$ - 42^$\circ$ = 48^$\circ$$ .
В треугольнике ABO, $$\angle$ OAB = 24^$\circ$$ , $$\angle$ OBA = 42^$\circ$$ .
В треугольнике BHO, $$\angle$ OBH = 42^$\circ$$ , $$\angle$ BHO = 90^$\circ$$ .
В треугольнике AHO, $$\angle$ OAH = 24^$\circ$$ . $$\angle$ OHA = 90^$\circ$$ . $$\angle$ AOH = 180^$\circ$ - 90^$\circ$ - 24^$\circ$ = 66^$\circ$$ .
Теперь мы можем сравнить HO и AO. В прямоугольном треугольнике AHO, AO — гипотенуза, а HO — катет. Значит, HO < AO.

AH и CH:

Так как $$\angle$ BAC = $\angle$ ACB = 48^$\circ$$ , то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.
Высота BH падает на основание AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, H — середина AC, и AH = CH.

BH и CH:

Из предыдущего пункта мы знаем, что AH = CH.
В прямоугольном треугольнике ABH, BH — катет, AH — катет.
Если бы AH = BH, то $$\angle$ BAH = $\angle$ ABH = 45^$\circ$$ . Но у нас $$\angle$ BAH = 48^$\circ$$ и $$\angle$ ABH = 42^$\circ$$ .
Так как $$\angle$ BAH > $\angle$ ABH$ , то противолежащий катет AH больше противолежащего катета BH. То есть, AH > BH.
Поскольку AH = CH, то CH > BH.

BO и CH:

Мы знаем, что AH = CH.
В треугольнике ABO, $$\angle$ OAB = 24^$\circ$$ , $$\angle$ OBA = 42^$\circ$$ .
По теореме синусов для треугольника ABO: $BO{$ $\sin$$\angle OAB$} = $AO{$ $\sin$$\angle OBA$} = $AB{$ $\sin$$\angle AOB$} $BO{$ $\sin$$24^\circ$ = $AO{$ $\sin$$42^\circ$.
BO = AO $\sin$$24^\circ$$\sin$$42^\circ$
$\sin$$24^\circ$ ≈ 0.4067, $\sin$$42^\circ$ ≈ 0.6691.
BO ≈ AO 0.40670.6691 ≈ 0.6078 .
В прямоугольном треугольнике ABH, AH = AB $\cos$$48^\circ$ и BH = AB $\sin$$48^\circ$.
$$\cos$$48^\circ$ ≈ 0.6691$ , $$\sin$$48^\circ$ ≈ 0.7431$ .
AH = CH = AB . BH = AB .
Из AH = CH, следует CH = AB .
Сравним BO и CH:
BO ≈ 0.6078 .
CH = AB .
В треугольнике ABO: $AO{$ $\sin$$42^\circ$ = $AB{$ $\sin$$114^\circ$ => AO = AB $\sin$$42^\circ$$\sin$$114^\circ$.
$$\sin$$114^\circ$ = $\sin$$180^\circ - 114^\circ$ = $\sin$$66^\circ$ ≈ 0.9135$ .
AO ≈ AB 0.66910.9135 ≈ 0.7325 .
BO ≈ 0.6078 .
CH = AB .
Сравнивая BO (≈ 0.4455 AB) и CH (≈ 0.6691 AB), видим, что BO < CH.

Итоговые ответы:

HO < AO
AH = CH
BH < CH
BO < CH