В треугольнике \(ABC\) медиана \(BM\) равна половине стороны \(AC\) и \(\angle BAC=38^\circ\). Найдите величину угла \(ACB\).

Поскольку \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AC\), поэтому \(AM=MC\) и \(AC=2AM\). По условию \(BM=\frac12 AC=AM\).

Значит, треугольник \(ABM\) равнобедренный с равными сторонами \(AM\) и \(BM\). Следовательно, углы при основании равны: \(\angle BAM=\angle ABM\). Так как \(M\) лежит на \(AC\), \(\angle BAM=\angle BAC=38^\circ\), поэтому \(\angle ABM=38^\circ\).

Тогда \(\angle AMB=180^\circ-38^\circ-38^\circ=104^\circ\). Углы \(AMB\) и \(BMC\) смежные, поэтому \(\angle BMC=76^\circ\). В треугольнике \(BMC\) равны стороны \(BM=MC\), значит, \(\angle MBC=\angle BCM\). Отсюда \(\angle BCM=(180^\circ-76^\circ)/2=52^\circ\). Поскольку лучи \(CA\) и \(CM\) совпадают, \(\angle ACB=\angle BCM\).

Ответ: \(52^\circ\).