В треугольнике ABC медиана BM в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол ABC.

Пусть длина AB равна \(a\). Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}\).

Так как \(BM=a/4\), длина \(2BM=a/2\). Возьмём направление BA за горизонтальное, а BM — под углом 60°. Тогда компоненты вектора BC, делённые на \(a\), равны \((\frac12\cos60°-1,\frac12\sin60°)=(-\frac34,\frac{\sqrt3}{4})\). Этот вектор направлен под углом 150° к BA. При симметричном расположении BM результат такой же.

Ответ: \(\angle ABC=150°\).