В треугольнике ABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 40°. Найдите угол ABC.

Пусть точка B — начало координат, а длина AB равна 1. Тогда BM = 1/2. Выберем ось x вдоль BA. Угол между BA и BM равен 40°, поэтому координаты можно задать так:

\(A=(1,0),\quad M=\left(\frac{1}{2}\cos 40^\circ,\frac{1}{2}\sin 40^\circ\right)\).

Так как M — середина AC, то \(C=2M-A\), откуда \(C=(\cos 40^\circ-1,\sin 40^\circ)\).

Используя формулы двойного угла, получаем \(C=(-2\sin^2 20^\circ,2\sin 20^\circ\cos 20^\circ)\). Направление луча BC образует с BA угол \(110^\circ\): его координаты пропорциональны \((-\sin 20^\circ,\cos 20^\circ)\), то есть угол направления равен \(90^\circ+20^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC=110^\circ\).