В треугольнике ABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 50°. Найдите угол ABC.

Пусть M — середина AC, поскольку BM — медиана. Обозначим AB = c и BM = m. По условию c = 2m.

Рассмотрим треугольник ABM. Угол между AB и BM равен 50°. По теореме косинусов:

AM² = AB² + BM² − 2 · AB · BM · cos 50° = 4m² + m² − 4m² cos 50°.

Так как M — середина AC, AM = MC. По теореме Аполлония для медианы BM:

AB² + BC² = 2(BM² + AM²).

Подставим AB = 2m и найденное AM²:

4m² + BC² = 2(m² + 5m² − 4m² cos 50°), откуда BC² = 8m² − 8m² cos 50°.

Пусть ∠ABC = β. По теореме косинусов в треугольнике ABC, где AC = 2AM:

AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos β.

Подстановка выражений выше даёт cos β = −sin 50° · (1 − cos 50°) / √(1 − cos 50°) = −sin 50° · √(1 − cos 50°).

Следовательно, β ≈ 74.3°.

Ответ: ∠ABC ≈ 74.3°.