В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол A.

Пусть AM = 1, тогда AB = 4. Разместим M в начале координат, а BC — на горизонтальной прямой. Поскольку угол между AM и AB равен 60°, можно взять \(A=(0,0)\), \(M=(1,0)\), \(B=(2,2\sqrt{3})\): расстояние AB равно 4, а угол между AB и AM — 60°.

Так как M — середина BC, координаты C симметричны координатам B относительно M: \(C=2M-B=(0,-2\sqrt{3})\).

Луч AB направлен под углом 60° к горизонтали, а луч AC — под углом −90°. Следовательно, угол между ними равен \(60^\circ-(-90^\circ)=150^\circ\).

Ответ: \(\angle A=150^\circ\).