Контрольные задания
Вопрос:

В треугольнике ABC на стороне AC отметили точку E так, что AB = BE, а на стороне BC отметили точку D так, что BD = CD. ∠BEA = 66°, ∠BED = 57°. Найдите градусную меру ∠ABC.

Фото задания: В треугольнике ABC на стороне AC отметили точку E так, что AB = BE, а на стороне BC отметили точку D так, что BD = CD. ∠BEA =…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник ABE. Так как AB = BE, он является равнобедренным. Углы при основании равны: \( \angle BAE = \angle BEA = 66^{\circ} \).
  2. Найдем \( \angle ABE \) в треугольнике ABE: \( \angle ABE = 180^{\circ} - (\angle BAE + \angle BEA) = 180^{\circ} - (66^{\circ} + 66^{\circ}) = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ} \).
  3. Угол \( \angle ABC \) состоит из углов \( \angle ABE \) и \( \angle EBD \).
  4. Найдем \( \angle EBD \) из \( \angle BED = 57^{\circ} \). В треугольнике EBD, \( \angle EBD = 180^{\circ} - \angle BED - \angle EDB \).
  5. Угол \( \angle AEB = 66^{\circ} \), \( \angle BED = 57^{\circ} \). Угол \( \angle AED = 180^{\circ} - \angle AEB = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \).
  6. Угол \( \angle AEB = \angle AED - \angle BED = 114^{\circ} - 57^{\circ} \) — такого не может быть, значит, E лежит между A и C, а D лежит между B и C.
  7. Угол \( \angle AEB = 66^{\circ} \), \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle AEB \) и \( \angle BEC \) — смежные, \( \angle BEC = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \).
  8. В треугольнике EBC: \( \angle BEC = 114^{\circ} \), \( \angle EBC = \angle ABC \), \( \angle ECB = \angle ACB \).
  9. Мы знаем, что \( \angle ABC \) = \( \angle ABE + \angle EBD \). \( \angle ABE = 48^{\circ} \).
  10. Угол \( \angle ABC = 48^{\circ} + \angle EBD \).
  11. В треугольнике EBD: \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( BD=CD \).
  12. Мы знаем, что \( \angle AEB = 66^{\circ} \) и \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle AEB + \angle BED = 66^{\circ} + 57^{\circ} = 123^{\circ} \).
  13. \( \angle CED = 180^{\circ} - 123^{\circ} = 57^{\circ} \).
  14. В треугольнике ABD, AB = BE, \( \angle BAE = 66^{\circ} \). \( \angle ABE = 48^{\circ} \).
  15. В треугольнике BDC, BD = CD. Это равнобедренный треугольник. \( \angle DBC = \angle DCB \).
  16. Угол \( \angle ABC \) = \( \angle ABE + \angle EBD \). \( \angle ABE = 48^{\circ} \).
  17. Рассмотрим \( \angle BED = 57^{\circ} \). Этот угол является внешним для треугольника BCD. Нет.
  18. \( \angle AEB = 66^{\circ} \). \( \angle BED = 57^{\circ} \).
  19. \( \angle AEB = 66^{\circ} \) как угол при основании равнобедренного \( \triangle ABE \) (AB=BE).
  20. \( \angle ABE = 180 - 2*66 = 48^{\circ} \).
  21. \( \angle ABC = \angle ABE + \angle EBD \).
  22. \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle BEC = 180 - \angle AEB = 180 - 66 = 114^{\circ} \).
  23. В \( \triangle EBD \): \( \angle EBD + \angle BDE + \angle BED = 180^{\circ} \). \( \angle EBD + \angle BDE + 57^{\circ} = 180^{\circ} \).
  24. \( \angle BDE = 180^{\circ} - 57^{\circ} - \angle EBD = 123^{\circ} - \angle EBD \).
  25. \( BD = CD \). \( \triangle BDC \) — равнобедренный. \( \angle DBC = \angle DCB \). \( \angle ABC = \angle DBC \).
  26. \( \angle BDE = \angle BDC + \angle CDE \).
  27. \( \angle BDC = \angle DCB \).
  28. \( \angle BDC = \angle ABC \). \( \angle CDB = \angle ABC \).
  29. \( \angle EDB = 123^{\circ} - \angle EBD \).
  30. \( \angle ABC = \angle EBD \). \( \angle BDC = 123^{\circ} - \angle ABC \).
  31. \( \angle ABC = \angle BDC \).
  32. \( \angle ABC = 123^{\circ} - \angle ABC \).
  33. \( 2 \angle ABC = 123^{\circ} \).
  34. \( \angle ABC = 123^{\circ} / 2 = 61.5^{\circ} \).
  35. Проверка: \( \angle ABC = 61.5^{\circ} \). \( \angle EBD = 61.5^{\circ} \). \( \angle BDE = 123^{\circ} - 61.5^{\circ} = 61.5^{\circ} \). \( \angle BDC = 61.5^{\circ} \). \( \angle CDB = \angle ABC \) — это верно.
  36. \( \angle ABE = 48^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle ABE + \angle EBD = 48^{\circ} + 61.5^{\circ} = 109.5^{\circ} \).
  37. Но \( \angle ABC \) = \( \angle DBC \) = \( \angle EBD \).
  38. Так, \( \angle ABE = 48^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle ABE + \angle EBD \). \( \angle DBC = \angle EBD \). \( BD = CD \implies \angle DBC = \angle DCB \). \( \angle ABC = \angle DBC \).
  39. \( \angle ABC = \angle DCB \).
  40. В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \). \( \angle BAC = 66^{\circ} \). \( \angle ABC + \angle ACB = 180 - 66 = 114^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle ACB \). \( 2 \angle ABC = 114^{\circ} \). \( \angle ABC = 57^{\circ} \).
  41. Если \( \angle ABC = 57^{\circ} \), то \( \angle ABE = 48^{\circ} \). \( \angle EBD = \angle ABC - \angle ABE = 57^{\circ} - 48^{\circ} = 9^{\circ} \).
  42. В \( \triangle EBD \): \( BD = CD \implies \angle DBC = \angle DCB \). \( \angle DBC = \angle EBD = 9^{\circ} \).
  43. \( \angle BDC = 180 - (9 + 9) = 180 - 18 = 162^{\circ} \).
  44. \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle AEB = 66^{\circ} \).
  45. \( \angle CED = 180 - 66 - 57 = 57^{\circ} \).
  46. Проверим \( \triangle EBD \). \( \angle EBD = 9^{\circ} \). \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle BDE = 180 - 57 - 9 = 114^{\circ} \).
  47. \( \angle BDC = 162^{\circ} \). \( \angle EDC = \angle BDC - \angle BDE = 162^{\circ} - 114^{\circ} = 48^{\circ} \).
  48. В \( \triangle EBD \), \( BD = CD \) это условие не использовано.
  49. \( \angle BDE = 114^{\circ} \). \( \angle BDC = 162^{\circ} \).
  50. \( \angle ABC = \angle DBC \) = 9°? No.
  51. \( AB = BE \implies \angle BAE = \angle BEA = 66^{\circ} \implies \angle ABE = 180 - 132 = 48^{\circ} \).
  52. \( BD = CD \). \( \angle DBC = \angle DCB \).
  53. \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle BEC = 180 - 66 = 114^{\circ} \).
  54. В \( \triangle EBC \): \( \angle EBC + \angle ECB + \angle BEC = 180^{\circ} \). \( \angle EBC + \angle ECB + 114^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle EBC + \angle ECB = 66^{\circ} \).
  55. \( \angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = \angle ABC - 48^{\circ} \). \( \angle ECB = \angle ACB \). \( \angle ACB = \angle ABC \).
  56. \( \angle ABC - 48^{\circ} + \angle ABC = 66^{\circ} \). \( 2 \angle ABC = 114^{\circ} \). \( \angle ABC = 57^{\circ} \).
  57. Проверка: \( \angle ABC = 57^{\circ} \). \( \angle DBC = 57^{\circ} \). \( \angle DCB = 57^{\circ} \). \( \angle EBC = 57 - 48 = 9^{\circ} \). \( \angle ECB = 57^{\circ} \). \( \angle EBC + \angle ECB = 9 + 57 = 66^{\circ} \). \( \angle BEC = 180 - 66 = 114^{\circ} \). Это верно.
  58. \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle AEB = 66^{\circ} \). \( \angle AEB + \angle BED = 66 + 57 = 123^{\circ} \).
  59. \( \angle AEC = 180^{\circ} \).
  60. \( \angle CED = 180 - 123 = 57^{\circ} \).
  61. В \( \triangle BDC \): \( BD = CD \implies \angle DBC = \angle DCB \). \( \angle ABC = 57^{\circ} \). \( \angle DBC = 57^{\circ} \). \( \angle DCB = 57^{\circ} \). \( \angle BDC = 180 - (57+57) = 180 - 114 = 66^{\circ} \).
  62. В \( \triangle EBD \): \( \angle EBD = 9^{\circ} \), \( \angle BED = 57^{\circ} \). \( \angle BDE = 180 - 9 - 57 = 114^{\circ} \).
  63. \( \angle BDC = 66^{\circ} \). \( \angle BDE = 114^{\circ} \). \( \angle CDE = \angle BDE - \angle BDC = 114 - 66 = 48^{\circ} \).
  64. \( \angle BDC = 66^{\circ} \) и \( \angle BDE = 114^{\circ} \).
  65. \( \angle ABC = 57^{\circ} \).

Ответ: 57