В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и высота BM, ∠ABC = 80°, ∠BCA = 60°. Найди ∠KBM между биссектрисой и высотой.

Вычислим третий угол треугольника:

\[\angle BAC=180^\circ-\angle ABC-\angle BCA=180^\circ-80^\circ-60^\circ=40^\circ.\]

Так как BK — биссектриса угла ABC, то \(\angle ABK=\angle KBC=40^\circ\).

Поскольку BM — высота, \(BM\perp AC\). Угол между лучом \(BA\) и высотой \(BM\) равен:

\[\angle ABM=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-40^\circ=50^\circ.\]

Следовательно, угол между BK и BM равен:

\[\angle KBM=\angle ABM-\angle ABK=50^\circ-40^\circ=10^\circ.\]

Ответ: \(10^\circ\).