16. В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. ИЛИ В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CAM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Решение первой задачи: В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. 1. Найдем угол ACB: Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \[∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 46° - 78° = 56°\] 2. Так как CE - биссектриса угла ACB, то ∠BCE равен половине ∠ACB: \[∠BCE = \frac{1}{2} ∠ACB = \frac{1}{2} \times 56° = 28°\] Ответ: 28° Решение второй задачи: В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CAM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM. Так как MK - биссектриса угла AMB, a MP - высота в треугольнике CAM, и ∠KMP = 90°, то это означает, что треугольник CMK равнобедренный и MP одновременно является биссектрисой, медианой и высотой. Значит MP - биссектриса и высота, и поэтому треугольник CAM равнобедренный (CA=AM) и MP является медианой (CP = PM). Т.к. MK - биссектриса угла AMB, a MP - высота в треугольнике CAM, и ∠KMP = 90°, то это означает, что треугольник BMA является равнобедренным и BM=MA. Следовательно, BM = CM = 12. Ответ: BM = 12.