В треугольнике ABC проведена медиана AM. Найдите длину стороны BC, если AB = 10 см, AC = 6 см, BC = 8 см.

Решение:

Медиана AM делит сторону BC пополам. Следовательно, BM = MC = BC/2.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \)

\( 6^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(\angle B) \)

\( 36 = 100 + 64 - 160 \cos(\angle B) \)

\( 36 = 164 - 160 \cos(\angle B) \)

\( 160 \cos(\angle B) = 164 - 36 = 128 \)

\( \cos(\angle B) = \frac{128}{160} = \frac{4}{5} = 0.8 \)

Теперь найдем длину медианы AM по теореме о медианах:

\( AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \)

\( AM^2 = \frac{2(10^2) + 2(6^2) - 8^2}{4} = \frac{2(100) + 2(36) - 64}{4} = \frac{200 + 72 - 64}{4} = \frac{208}{4} = 52 \)

\( AM = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \) см.

Ответ: Длина медианы AM равна \( 2\sqrt{13} \) см.