В треугольнике ABC проведена медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой отрезка AC:

\(AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42\).

Обозначим \(AH = x\). Тогда \(HM = x - 42\), а \(HC = 84 - x\).

Поскольку \(BH\) — высота, треугольники \(BHM\) и \(BHC\) прямоугольные. По теореме Пифагора:

\(BM^2 = BH^2 + HM^2\),

\(BC^2 = BH^2 + HC^2\).

По условию \(BM = BC\), значит:

\(BH^2 + (x - 42)^2 = BH^2 + (84 - x)^2\).

\((x - 42)^2 = (84 - x)^2\).

Отсюда \(x - 42 = 84 - x\), поэтому:

\(2x = 126\),

\(x = 63\).

Ответ: \(AH = 63\).