В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Обозначим: \(AC=2\), поэтому точка \(M\) — середина основания — находится на расстоянии \(AM=MC=1\).

Пусть \(AH=x\), а \(BH=h\). Тогда \(HC=2-x\).

По теореме Пифагора:

\[BC^2=(2-x)^2+h^2,\]

\[BM^2=(x-1)^2+h^2.\]

Так как \(BC=BM\), то \(BC^2=BM^2\):

\[(2-x)^2+h^2=(x-1)^2+h^2.\]

Сократим \(h^2\) и раскроем скобки:

\[4-4x+x^2=x^2-2x+1,\]

\[3=2x,\]

\[x=\frac{3}{2}.\]

Ответ: \(AH=\frac{3}{2}\).