В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 79 и BC = BM. Найдите AH.

Так как точка M — середина отрезка AC, то \(AM=MC=\frac{79}{2}\).

Обозначим \(AH=x\). Тогда, поскольку \(M\) находится между \(A\) и \(H\), получаем \(MH=x-\frac{79}{2}\).

Из прямоугольных треугольников \(ABH\) и \(BCH\):

\[AB^2=BH^2+x^2,\qquad BC^2=BH^2+(79-x)^2.\]

Медиана \(BM\) даёт:

\[BM^2=BH^2+\left(x-\frac{79}{2}\right)^2.\]

По условию \(BC=BM\), поэтому

\[BH^2+(79-x)^2=BH^2+\left(x-\frac{79}{2}\right)^2.\]

Сократим \(BH^2\):

\[(79-x)^2=\left(x-\frac{79}{2}\right)^2.\]

Так как \(0

\[79^2-158x+x^2=x^2-79x+\frac{79^2}{4},\]

\[\frac{3\cdot79^2}{4}=79x,\qquad x=\frac{3\cdot79}{4}=\frac{237}{4}. \]

Ответ: \(AH=\frac{237}{4}=59{,}25\).