В треугольнике ABC провели медиану BM. Оказалось, что сумма углов A и C равна углу ABM. Найдите отношение медианы BM к стороне BC.

Обозначим углы треугольника через \(A\), \(B\), \(C\). По условию \(\angle ABM=A+C\), а из суммы углов треугольника \(A+C=180°-B\). Поэтому \(\angle ABM=180°-B\), и \(\angle BMA=B-A\).

По теореме синусов в треугольнике ABM:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle BMA}=\frac{\sin(A+C)}{\sin(B-A)}=\frac{\sin B}{\sin(B-A)}.\)

По теореме синусов в треугольнике ABC и с учётом того, что BM — медиана, получаем:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{2AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin B}{\sin C}.\)

Приравнивая выражения для \(AM/AB\), имеем \(\sin(B-A)=2\sin C\).

Снова применим теорему синусов:

\(\frac{BM}{BC}=\frac{AB\sin A/\sin(B-A)}{AB\sin A/\sin C}=\frac{\sin C}{\sin(B-A)}=\frac{1}{2}.\)

Ответ: \(BM:BC=1:2\).