В треугольнике ABC провели медиану BN, на которой отметили точку O таким образом, что BO : ON = 9 : 7. Через точки A и O провели прямую, которая пересекла сторону BC в точке F. Найдите, чему равно отношение площадей треугольников S_ΔBFO : S_ΔAON. Искомое отношение запишите через двоеточие.

Обозначим площадь треугольника ABC через S. Так как BN — медиана, BN делит ABC на два равновеликих треугольника, поэтому S_ABN = S/2.

1. Из BO : ON = 9 : 7 следует BN = 16 частей, а ON составляет 7/16 от BN. Треугольники AON и ABN имеют общую высоту из A к прямой BN, значит S_AON = (7/16) · (S/2) = 7S/32.

2. Треугольники BFO и BFA имеют общую высоту из B к прямой AO. Поскольку F, O и A лежат на одной прямой, их площади относятся как FO : FA. По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей A–F–C (с пересечением BN в O): (BO/ON) · (NA/NC) · (CF/FB) = 1. Так как NA = NC и BO/ON = 9/7, получаем CF/FB = 7/9, то есть FB/BC = 9/16.

3. Треугольники BFA и ABC имеют общую высоту из A к прямой BC, поэтому S_BFA = (9/16)S. На прямой A–O–F порядок точек A–O–F, а из BO:ON = 9:7 и медианного деления следует AO:OF = 23:9; следовательно S_BFO = (9/32)S.

4. Тогда S_BFO : S_AON = (9S/32) : (7S/32) = 9 : 7.

Ответ: 9:7.