В треугольнике ABC провели высоту AH. Найдите длину AH, если AB = 4, BC = 5, AC = 6.

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника и формулой площади треугольника через основание и высоту.

1. Найдем полупериметр треугольника ABC:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$$

2. Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{7.5(7.5 - 4)(7.5 - 5)(7.5 - 6)} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{1}{4} \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{1}{4} \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 5 \sqrt{7} = \frac{15}{4} \sqrt{7}$$

3. Площадь треугольника также можно выразить как половину произведения основания на высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$$

4. Выразим высоту AH через площадь и основание BC:

$$AH = \frac{2S}{BC}$$

5. Подставим известные значения:

$$AH = \frac{2 \cdot \frac{15}{4} \sqrt{7}}{5} = \frac{\frac{15}{2} \sqrt{7}}{5} = \frac{15 \sqrt{7}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \sqrt{7}}{2}$$

6. Найдем приближенное значение AH:

$$AH = \frac{3 \sqrt{7}}{2} \approx \frac{3 \cdot 2.646}{2} \approx \frac{7.938}{2} \approx 3.969$$

Округлим до десятых: AH ≈ 4.0

Ответ: $$\frac{3 \sqrt{7}}{2}$$, AH ≈ 4.0