В треугольнике ABC стороны AB, BC и CA равны 7, 4 и 8 соответственно. Можно ли утверждать, что этот треугольник остроугольный? Подтвердите или опровергните это утверждение.

1. Вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) определяется наибольшим углом. Так как CA > AB > BC, то ∠B > ∠C > ∠A. Значит, наибольшим является угол B. Утверждение «треугольник остроугольный» будет верным, если угол B — острый, то есть cos B > 0.

2. По теореме косинусов CA² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B, откуда cos B = (AB² + BC² − CA²) / (2 · AB · BC).

3. Подставим длины сторон: cos B = (7² + 4² − 8²) / (2 · 7 · 4) = (49 + 16 − 64) / 56 = 1/56. Значит, cos B > 0, поэтому угол B — острый.

4. Итак, треугольник ABC — остроугольный. Утверждение верно.