В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, AB = 6, AD = 7, AC = 8, AD — биссектриса угла A. Найти отношение площадей S_ABD : S_ACD.

Так как AD — биссектриса угла A, по теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\).

Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту, проведённую из точки A к прямой BC. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3}{4}\).

Ответ: \(S_{ABD}:S_{ACD}=3:4\).