В треугольнике ABC точка K — середина AB, точка M лежит на AC, AM = 4, MC = 6. Прямые BM и KC пересекаются в точке N. Найти KN : NC.

Поскольку \(AM=4\), а \(MC=6\), имеем \(AC=10\) и \(AM/AC=2/5\). Обозначим через \(t\) долю пути от K до C, которую составляет KN: тогда точка N на KC имеет вид \(N=(1-t)K+tC\).

Так как K — середина AB, то \(K=B/2\). Следовательно, коэффициенты точки N при B и C равны \((1-t)/2\) и \(t\).

Точка N также лежит на BM. На отрезке BM коэффициент при C меняется от 0 до \(2/5\), а коэффициент при B — от 1 до 0. Приравнивая коэффициенты для двух выражений точки N, получаем \(t=(2/5)s\) и \((1-t)/2=1-s\), где s — доля пути от B до M.

Из второго равенства \(s=(1+t)/2\). Подстановка в первое даёт \(t=(1/5)(1+t)\), откуда \(t=1/4\). Поэтому \(KN/NC=t/(1-t)=1/3\).

Ответ: \(KN:NC=1:3\).