В треугольнике ABC точки A₁, B₁, C₁ лежат на сторонах BC, AC, AB соответственно так, что BA₁ : A₁C = 1 : 2 и CB₁ : B₁A = 1 : 3. Используя векторы, доказать, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Обозначим через P, Q, R середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ соответственно. Возьмём A за начало координат и обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AC}=\mathbf c\).

1. Из отношения \(BA₁:A₁C=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{AA₁}=\frac{2}{3}\mathbf b+\frac{1}{3}\mathbf c\). Поэтому \(\overrightarrow{AP}=\frac12\overrightarrow{AA₁}=\frac13\mathbf b+\frac16\mathbf c\).
2. Так как \(CB₁:B₁A=1:3\), точка B₁ делит CA в отношении \(CB₁:B₁A=1:3\), откуда \(\overrightarrow{AB₁}=\frac34\mathbf c\). Следовательно, \(\overrightarrow{AQ}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB₁})=\frac12\mathbf b+\frac38\mathbf c\).
3. Точка C₁ — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{AC₁}=\frac12\mathbf b\). Кроме того, \(\overrightarrow{AA₁}=\frac23\mathbf b+\frac13\mathbf c\), а \(\overrightarrow{BC₁}=\frac12\mathbf b-\mathbf b=-\frac12\mathbf b\). Для середины R отрезка CC₁ удобнее сложить радиус-векторы концов: \(\overrightarrow{AR}=\frac12(\mathbf c+\frac12\mathbf b)=\frac14\mathbf b+\frac12\mathbf c\).
4. Вычислим: \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\frac16\mathbf b+\frac{5}{24}\mathbf c\), а \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=-\frac1{12}\mathbf b+\frac13\mathbf c\). Эти векторы не пропорциональны в общем случае, поэтому утверждение о коллинеарности из приведённых условий не следует.

Например, при \(\mathbf b=(1,0)\), \(\mathbf c=(0,1)\) получаем \(P=(1/3,1/6)\), \(Q=(1/2,3/8)\), \(R=(1/4,1/2)\). Векторное произведение \(\overrightarrow{PQ}\) и \(\overrightarrow{PR}\) равно \(\frac{13}{288}\ne0\), значит, точки не лежат на одной прямой.

В условии, вероятно, есть опечатка: с указанными отношениями утверждение неверно.